Devoir complété en groupe par :

1) NOM Prénom SID

2) NOM Prénom SID

3) NOM Prénom SID

4) NOM Prénom SID

5) NOM Prénom SID

Devoir maison 1

Le devoir ci-dessous peut être effectué en groupe de 5 étudiant-e-s ou moins, en échange de points bonus applicables au CC1. La notation se fera ainsi :

- 1 point bonus si au moins un des trois exercices est rendu avec des réponses essentiellement correctes,

- 2 points bonus si deux exercices sont complets et corrects dans l’ensemble,

- 3 points bonus si les trois exercices sont complets avec une majorité de réponses valides.

Le devoir doit être réalisé à l’aide du langage informatique gratuit et open-source SageMath. Rien ne vous empêche de vérifier vos réponses manuellement à côté avec un crayon et une feuille de papier. Je ne corrigerai toutefois que les devoirs soumis au format pdf se servant de SageMath. Je vous invite à consulter le dossier de TD1 réalisé sur SageMath pour vous familiariser avec le langage et le format :

https://cocalc.com/share/public_paths/c9c1cb5f75e8fe79bb122149e368840897aaff9b

Un tutoriel (en anglais) est disponible à l’adresse :https://doc.sagemath.org/html/en/tutorial/index.html

Un tutoriel (en français) est disponible à l’adresse :http://math.univ-lyon1.fr/~bergot/teaching/BookSage.pdf

Il n’est pas nécessaire d’installer SageMath sur votre ordinateur. Vous pouvez modifier de manière collaborative un document de type “Jupyter notebook” faisant tourner SageMath en arrière-plan directement à l’aide de votre navigateur internet.

Il n’est pas nécessaire de soumettre plus d’un devoir par groupe. À vous de décider avec qui vous associer. Je vous invite à utiliser le forum de la page du cours sur Espadon ou le forum Piazza pour vous coordonner.

Vous avez jusqu’au lundi 17 octobre à 12h00 (heure de Tahiti) pour soumettre votre devoir via gradescope. En fonction de la popularité de cette initiative, un devoir similaire vous sera proposé entre le CC2 et l’examen de la seconde chance en échange de points bonus qui s’appliqueront à votre CC2.

Exercice 1

Un consommateur avec un budget disponible $R$ consomme deux biens : $X$ et $Y$. Ses préférences peuvent être représentées par la fonction d’utilité :

$U(X, Y) = \frac{2}{3} \cdot \ln(X) + \frac{1}{3} \cdot \ln(Y)$.

Les prix des biens $X$ et $Y$ sont $P_X$ et $P_Y$, respectivement.

1) Déclarez les variables $X$, $Y$, $P_X$, $P_Y$, $R$ et $\lambda$, ainsi que la fonction d’utilité du consommateur : $U(X, Y)$

2) Programmez le lagrangien $\mathcal{L}(X, Y, \lambda) = U(X, Y) + \lambda \cdot (R - P_X \cdot X - P_Y \cdot Y)$ ou $\mathcal{L}(X, Y, \lambda) = U(X, Y) - \lambda \cdot (P_X \cdot X + P_Y \cdot Y - R)$ dans Sagemath.

Note : La variable “lambda” a déjà une signification particulière dans SageMath. Je vous invite donc à utiliser à la place “m” dans votre code, le diminutif de “multiplicateur”.

3) À l’aide de la fonction diff(), définissez les trois conditions de premier ordre : $\frac{\partial \mathcal{L}(X, Y, \lambda)}{\partial X} = 0$, $\frac{\partial \mathcal{L}(X, Y, \lambda)}{\partial Y} = 0$ et $\frac{\partial \mathcal{L}(X, Y, \lambda)}{\partial \lambda} = 0$.

4) À l’aide de la fonction solve(), déterminez les équations de demande pour les biens $X$ et $Y$, ainsi que la valeur du multiplicateur $\lambda$.

5) Supposons que $R = 100$, représentez la courbe de demande du bien $X$ pour $P_X \in [1, 10]$.

Exercice 2

Supposons que nous avons affaire à une entreprise en situation de monopole avec une fonction de coût total :

$CT(Q) = 100 + \frac{1}{2} \cdot Q^2 + 20 \cdot Q$

L’entreprise opère sur un marché caractérisé par l’équation de demande :

$Q = 200 - 2 \cdot P$.

1) Définissez les variables $P$ et $Q$ dans SageMath, ainsi que l’équation du coût total $CT(Q)$ et de la demande $D(Q, P)$.

2) Définissez l’équation inverse de demande $D_{inv}(P, Q)$ et représentez la courbe de demande (allant d'un axe à l’autre) sur un graphique.

3) À partir des éléments de l’énoncé, créez dans SageMath la fonction de recette totale $RT(Q)$, de recette marginale $Rm(Q)$ ainsi que la fonction du coût marginal $Cm(Q)$.

4) À l’aide de $D_{inv}(P, Q)$ et $Cm(Q)$ et de la fonction solve(), déterminez l’équilibre compétitif $(Q_c, P_c)$ et le profit de l'entreprise $\Pi_c$ (Profit(Qc)).

5) À l’aide de $Rm(Q)$, $Cm(Q)$ et de la fonction solve(), déterminez l’équilibre de monopole $(Q_m, P_m)$ et le profit de l'entreprise $\Pi_m$ (Profit(Qm)).

6) Représentez graphiquement la courbe de demande, la courbe de la recette marginale, ainsi que la courbe du coût marginal. Labellisez sur le graphique les points correspondant à l’équilibre compétitif et à l’équilibre de monopole.

7) Représentez la courbe de profit de l'entreprise sur un graphique. Assurez-vous de représenter le point qui maximise le profit, avec la valeur de profit associée.

Exercice 3

Soit un duopole à produit homogène tel que la variable stratégique pour les firmes est la quantité produite (dans un cadre non-coopératif à information complète).

La fonction de demande (inverse) pour le marché considéré est de la forme suivante :

$P = 1000 - 2 \cdot Q$, avec $Q = Q_1 + Q_2$, où $Q_1$ correspond à la quantité produite par la Firme 1 et $Q_2$ à la quantité produite par la Firme 2.

Les fonctions de coût total des entreprises sont respectivement :

$CT_1(Q_1) = \frac{1}{2} \cdot {Q_1}^2 + 10 \cdot Q_1$

et

$CT_2(Q_2) = \frac{1}{4} \cdot {Q_2}^2 + 40 \cdot Q_2$

1) Programmez les variables de l’énoncé : $P$, $Q_1$, $Q_2$ dans SageMath ainsi que l’équation inverse de demande : $D_{inv}(P, Q_1, Q_2)$ et les fonctions de coût total $CT_1(Q_1)$ et $CT_2(Q_2)$ .

2) Programmez dans sagemath les fonctions de profit de chaque entreprise : $\Pi_1$ et $\Pi_2$

3) À partir des fonctions de profit définies précédemment et des conditions de premier ordre ($\frac{\partial \Pi_1}{\partial Q_1} = 0$ et $\frac{\partial \Pi_2}{\partial Q_2} = 0$), déterminez l’équilibre de COURNOT-NASH (quantités produites, prix, profits). À partir des conditions de premier ordre, représentez la courbe de meilleure réponse de chaque entreprise par rapport à la quantité produite par l’autre entreprise. Indices : Isolez la variable $Q_2$ dans chacune des conditions pour faciliter la représentation graphique. Les deux courbes devraient se croiser au point où $(Q_1^*, Q_2^*)$, les quantités trouvées à l’équilibre de Cournot-Nash où chaque entreprise répond de la meilleure façon possible à une action prise par l’autre entreprise.

4) Donnez l'équilibre de STACKELBERG (quantités produites, prix, profits) en postulant que le producteur noté 1 est le leader.