החבילה SymPy
¶

SymPy היא ספרייה למתמטיקה סימבולית המיועדת ל- Python. היא כתובה כולה רק ב-Python, כך שאין צורך בסיפריות נוספות כדי להשתמש בה. בכוונת מפתחי ה- Sympy לפתחה עד כדי מערכת המכילה את כל התכונות והיכולות של תוכנות CAS (Computer Algebra System). המפתחים מנסים לשמור את הקוד פשוט ככל האפשר כדי ליצור חבילה קלה להבנה ושאפשר להרחיבה בקלות. באופן בסיסי Sympy היא מחשבון סימבולי, אבל יתרונה בכך שאפשר להשתמש בה בתוכנית מחשב.

from sympy import *
init_printing()

import math

math.sqrt(2)

sqrt(2)

acos(0.5)

acos(1/2)

תרגיל 1
¶

הפעילו על 1- את הפונקציה acos

acos(Out[6])

Symbols
¶

האוביקט הבסיסי ב- Sympy הוא ה- Symbol אוביקט זה מייצג משתנה מתמטי. יצירת אובייקט זה נעשיית באמצעות הפונקציה Symbol או symbols

x,y,z=symbols('x y z')
alpha,beta,gamma=symbols('alpha,beta,gamma')
sin(alpha)**2+sin(beta)**2

תרגיל 2
¶

בעזרת הפונקציה symbols צרו את המשתנים mu ו- sigma

?,?=symbols('? ?')

Object `` not found.

תרגיל 3
¶

הגדירו את הפונקציה $e^{ {-(x-\mu)^2}\over{\sigma^2}}$ פונקציה זו מכונה פונקציית הפעמון.

bell=?

  File "<ipython-input-11-5cb17d057ce3>", line 1
    bell=?
         ^
SyntaxError: invalid syntax

גזירה של פונקציה
¶

a=Symbol('a')
diff(a*x**3,x)

bell.diff(x)

שרטוט גרף באמצעות sympy.plotting
¶

from sympy.plotting import *
plot(exp(-(x-3)**2),(x,-5,6))

תרגיל 4
¶

חשבו את הניגזרת השנייה של פונקציית "הפעמון" ושרטטו גרף שלה

הפונקציות simplify, subs,expand,evalf
¶

a,b,c,d=symbols('a b c d')
expr=(a-b)*(a+b)**2
expand(expr)

expr.expand()

new_expr=expr.subs([(a,3),(b,d*c/2)])
new_expr

simplify(new_expr)

new_expr.subs([(c,2.4),(d,3)]).evalf()

תרגיל 5
¶

בעזרת הפונקציה help בדקו מה פעולת הפונקציה simplify.

תרגיל 6
¶

הפעילו את הפונקציה simplify על הניגזרת השלישית של פונקציית הפעמון

False

11655.0 C

b*x + x - 1/x == 7

-0.129 1.30

<sympy.plotting.plot.Plot at 0x7f9b45688090>

<sympy.plotting.plot.Plot at 0x7f9b45772590>

<sympy.plotting.plot.Plot at 0x7f9b35d2b950>

False

11655.0 C

b*x + x - 1/x == 7

-0.129 1.30

<sympy.plotting.plot.Plot at 0x7f9b45688090>

<sympy.plotting.plot.Plot at 0x7f9b45772590>

<sympy.plotting.plot.Plot at 0x7f9b35d2b950>

תרגיל 9
¶

הביטוי שלמטה הוא נוסחת הרון לחישוב שטח משולש שצלעותיו הן a,b ו-c. s הוא חצי היקף המשולש. השתמשו בפונקציה subs וחשבו את שטח המשולש אם נתון ש: a=6, b=7, c=9

קודם הציבו במקום s את מחצית סכום הצלעות ולאחר מכן הציבו את הערכים.

a,b,c,s=symbols('a,b,c,s')
area=sqrt(s*(s-a)*(s-b)*(s-c))

בדיקת שוויון
¶

x,y=symbols('x y')
a=(x-y)**2
b=x**2-2*x*y+y**2
a==b

False

simplify(a-b)

יצירת משוואה
¶

יוצרים משוואה באמצעות הפונקציה Eq

e=Eq(y,4*x**2-x+3)
e

e.lhs

e.rhs

solve(e,x)

תרגיל 10
¶

כתבו פונקציה המקבלת שני ביטווים. הפונקציה צריכה tupl המכיל שני ערכים בוליאניים. הראשון מציין האם הביטויים זהים והשני האם הביטויים שווים מתמטית.

def equality_exercise(a,b):
    """Return a tuple of tow boolean. the first is True if a=b symbolicaly, 
    the second is True if a==b mathematically. 
    Examples
    ========
    >>> x=symbols('x')
    >>> equality_exercise(x,2)
    (False,False)
    >>> equality_exercise((x+1)**2,x**2+2*x+1)
    (False,True)
    >>> equality_exercise(4*x,4*x)
    (True,True)
    """

sympify('2*cos(x)')

דוגמא
¶

קיבול חום סגול של חומר מוגדר ככמות האנרגיה שצריך לספק לכמות חומר שגודלה יחידת מסה אחת כדי לחמם אותה ב- $ 1^0C $. קיבול החום הסגולי של מים הוא $ 4.2{ J\over {gr\cdot 1^0C}} $ (האות J מציינת את יחידת האנרגיה ג'ול) הספק של גוף חימום שווה לכמות האנרגיה שפולט גוף החימום ביחידת זמן. יחידת ההספק היא ווט (W) והיא שווה לכמות אנרגיה של 1J בשנייה (s). בהמשך דוגמא לחישוב הזמן הדרוש לחימום דוד מים המכיל 150 ליטר מים בטמפרטורה של $ 23^0 C $ לטמפרטורה של $ 60^0C $בעזרת גוף חימום שהספקו 2000W.

##

הערה:

כאשר מצמידים גוף בטמפרטורה גבוהה לגוף בטמפרטורה נמוכה יותר עוברת אנרגיה מהגוף החם לקר עד שהטמפרטורות משתוות. כמות האנרגיה העוברת מהגוף החם לקר מכונה חום.

Q - כמות חום T1- טמפרטורה התחלתית T2- טמפרטורה סופית m - מסת המים c -קיבול חום סגולי של מים P - הספק גוף החימום ##

חישוב כמות החום הדרושה לחימום המים:

c=4.2# J/gr-1C
m=150*1000 #gr
T1=23 #C
T2=60 #C
P=2000 #w
Q=c*m*(T2-T1)
t=Q/P
print t, "C"

11655.0 C

כפי שניתן לראות במקרה זה אין צורך להשתמש ב-Sympy לפתרון התרגיל.

השימוש ב- Sympy הוא הדרך הפשוטה לפתרון בעיות מסובכות והדרך המסובכת לפתרון בעיות פשוטות
¶

תרגיל 11
¶

נתון גוף שמסתו m1 בטמפרטורה T1 וקיבול חום C1. מצמידים אותו לגוף שמסתו m2, הטמפרטורה שלו T2 וקיבול החום שלו C2. פתחו בעזרת Sympy ביטוי לטמפרטורה הסופית של שני הגופים ( הניחו כי כמות החום שפלט האחד שווה לכמות החום שקלט השני).

הפונקציה solve
¶

פתרון סימבולי:

x,b=symbols('x b')
eq=Eq(x-1/x+b*x,7)
print eq
ans=solve(eq,x)
ans

b*x + x - 1/x == 7

פיתרון נומרי עבור b=5
¶

print ans[0].subs(b,5).n(3), ans[1].subs(b,5).n(3)

-0.129 1.30

יותר מנעלם אחד:
¶

x,y=symbols('x,y')
solve([Eq(3*(x-y)**2+x-2,y),Eq(y*x+x/3+y,1)],[x,y])

תרגיל 12
¶

חלקיק נע במהירות קצובה לאורך הקו הישר: $ y=m\cdot x+n $ . בנקודה (a,b) דיסקה ברדיוס r.

פתחו נוסחא באמצעותה ניתן לדעת האם החלקיק מתנגש בדיסקה ןאם כן היכן.

היכן נקודת ההתנגשות עבור הערכים הבאים: a=2,b=3,m=1,n=0.5, ו- r=5

מציאת נקודות קיצון של פונקציה
¶

בנקודת קיצון הניגזרת מתאפסת

$$ f(x)=e^\frac{-(x^2-ax+b)}{c} $$¶

x,a,b,c=symbols('x,a,b,c')
f=exp(-(x**2-a*x-b)/c)
plot(f.subs([(a,2),(b,1),(c,3)]),(x,-4,5))

<sympy.plotting.plot.Plot at 0x7f9b45688090>

solve(f.diff(x),x)

from sympy import *
A,t=symbols('A,t')
c=A*t*exp(-t/3)
from sympy.plotting import *
plot(c.subs(A,5),(t,0,10),title='c vs t graph',xlabel='t(s)',ylabel="c(mg/ml)")

<sympy.plotting.plot.Plot at 0x7f9b45772590>

<sympy.plotting.plot.Plot at 0x7f9b35d2b950>

from sympy import *
A,t=symbols('A,t')
c=A*t*exp(-t/3)
from sympy.plotting import *
plot(c.subs(A,5),(t,0,10),title='c vs t graph',xlabel='t(s)',ylabel="c(mg/ml)")

<sympy.plotting.plot.Plot at 0x7f9b45772590>

tmax=solve(c.diff(t),t)
tmax

cmax=1#mg/ml
Ac=solve(Eq(c.subs(t,tmax[0]),cmax),A)
Ac

Ac[0].evalf()

plot(c.subs(A,Ac[0]),(t,0,10),title='c vs t graph',xlabel='t(s)',ylabel="c(mg/ml)")

<sympy.plotting.plot.Plot at 0x7f9b35d2b950>

החבילה SymPy
¶

תרגיל 1
¶

Symbols
¶

תרגיל 2
¶

תרגיל 3
¶

גזירה של פונקציה
¶

שרטוט גרף באמצעות sympy.plotting
¶

תרגיל 4
¶

הפונקציות simplify, subs,expand,evalf
¶

תרגיל 5
¶

תרגיל 6
¶

תרגיל 7

תרגיל 8
¶

תרגיל 9
¶

בדיקת שוויון
¶

יצירת משוואה
¶

תרגיל 10
¶

דוגמא
¶

השימוש ב- Sympy הוא הדרך הפשוטה לפתרון בעיות מסובכות והדרך המסובכת לפתרון בעיות פשוטות
¶

תרגיל 11
¶

הפונקציה solve
¶

פיתרון נומרי עבור b=5
¶

יותר מנעלם אחד:
¶

תרגיל 12
¶

מציאת נקודות קיצון של פונקציה
¶

$$ f(x)=e^\frac{-(x^2-ax+b)}{c} $$¶

תרגיל 12
¶

החבילה SymPy ¶

תרגיל 1¶

Symbols ¶

תרגיל 2 ¶

תרגיל 3 ¶

גזירה של פונקציה¶

שרטוט גרף באמצעות sympy.plotting ¶

תרגיל 4 ¶

הפונקציות simplify, subs,expand,evalf ¶

תרגיל 5 ¶

תרגיל 6 ¶

תרגיל 7

תרגיל 8¶

תרגיל 9 ¶

בדיקת שוויון ¶

יצירת משוואה ¶

תרגיל 10 ¶

דוגמא ¶

השימוש ב- Sympy הוא הדרך הפשוטה לפתרון בעיות מסובכות והדרך המסובכת לפתרון בעיות פשוטות ¶

תרגיל 11 ¶

הפונקציה solve ¶

פיתרון נומרי עבור b=5 ¶

יותר מנעלם אחד: ¶

תרגיל 12 ¶

מציאת נקודות קיצון של פונקציה ¶

$$ f(x)=e^\frac{-(x^2-ax+b)}{c} $$¶

תרגיל 12 ¶

החבילה SymPy
¶

תרגיל 1
¶

Symbols
¶

תרגיל 2
¶

תרגיל 3
¶

גזירה של פונקציה
¶

שרטוט גרף באמצעות sympy.plotting
¶

תרגיל 4
¶

הפונקציות simplify, subs,expand,evalf
¶

תרגיל 5
¶

תרגיל 6
¶

תרגיל 8
¶

תרגיל 9
¶

בדיקת שוויון
¶

יצירת משוואה
¶

תרגיל 10
¶

דוגמא
¶

השימוש ב- Sympy הוא הדרך הפשוטה לפתרון בעיות מסובכות והדרך המסובכת לפתרון בעיות פשוטות
¶

תרגיל 11
¶

הפונקציה solve
¶

פיתרון נומרי עבור b=5
¶

יותר מנעלם אחד:
¶

תרגיל 12
¶

מציאת נקודות קיצון של פונקציה
¶

תרגיל 12
¶